Η μέτρηση του μήκους και ο ορισμός της απόστασης αποτελούν κεντρικά στοιχεία της Γεωμετρίας, επιτρέποντας τη μετάβαση από τις αφηρημένες έννοιες στην πρακτική εφαρμογή.
0.1 Θεωρία Μέτρησης Μήκους
- Ορισμός: Το μήκος είναι ο αριθμός που εκφράζει το αποτέλεσμα της σύγκρισης ενός μεγέθους (όπως ένα ευθύγραμμο τμήμα) με μια αντίστοιχη μονάδα μέτρησης.
- Μονάδες Μέτρησης:
- Βασική μονάδα είναι το μέτρο (m).
- Πολλαπλάσια: Το χιλιόμετρο (km), όπου 1 km = 1.000 m.
- Υποδιαιρέσεις: Το δεκατόμετρο (dm = 0,1 m), το εκατοστόμετρο (cm = 0,01 m) και το χιλιοστόμετρο (mm = 0,001 m).
- Για τη μετατροπή από μια μονάδα στην αμέσως μικρότερη πολλαπλασιάζουμε με το 10, ενώ στην αμέσως μεγαλύτερη διαιρούμε με το 10.
- Όργανα Μέτρησης:
- Η μέτρηση γίνεται συνήθως με τον βαθμολογημένο κανόνα (υποδεκάμετρο)
- Για μεγαλύτερα μήκη χρησιμοποιείται η μετροταινία (30m, 40m ….)
- Για πολύ μικρά μήκη χρησομοποιούμε το μικρόμετρο ή το παχύμετρο (2mm, 5mm, ….).
- Εξάντας: Πρόκειται για έναν μηχανισμό που, αν και μετράει γωνίες, χρησιμοποιείται για τον έμμεσο υπολογισμό απρόσιτων μηκών (όπως το ύψος ενός σχολείου) μέσω της χρήσης ομοίων τριγώνων
- Μπορούμε επίσης με το άνοιγμα του διαβήτη να μεταφέρουμε το μήκος ενός μικρού τμήματος στο υποδεκάμετρο και έτσι να το μετρήσουμε.
Σύγκριση: Δύο ευθύγραμμα τμήματα είναι ίσα όταν, με κατάλληλη μετατόπιση, τα άκρα τους συμπίπτουν. Όταν είναι ίσα και το μήκος τους είναι ίδιο.
0.2 Θεωρία Απόστασης Μεταξύ Δύο Σημείων
Ορισμός: Απόσταση δύο σημείων Α και Β ονομάζεται το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ που τα συνδέει.
- Συμβολισμός: Συμβολίζεται ως (ΑΒ) ή απλά ΑΒ.
- Ιδιότητες:
- Η απόσταση είναι πάντα θετικός αριθμός ή μηδέν (\(AB \ge 0\)).
- Είναι μηδέν μόνο όταν τα σημεία Α και Β ταυτίζονται. Μηδενικό τμήμα.
- Το μέσο ενός τμήματος ΑΒ είναι το μοναδικό εσωτερικό σημείο Μ που ισαπέχει από τα άκρα του, δηλαδή \(ΑΜ = ΜΒ\).
0.3 Ασκήσεις και Εφαρμογές
Άσκηση 1 (Μετατροπές): Να μετατραπούν τα 50 cm σε m, dm και mm.
* Λύση: * Σε m: \(50 : 100 = \mathbf{0,5 \, m}\).
* Σε dm: \(50 : 10 = \mathbf{5 \, dm}\).
* Σε mm: \(50 \times 10 = \mathbf{500 \, mm}\).
Άσκηση 2 (Πρόσθεση Τμημάτων): Σε μια ευθεία ε παίρνουμε τα διαδοχικά σημεία Α, Β, Γ και Δ τέτοια ώστε \(ΑΒ = 2 \, cm\), \(ΒΓ = 3 \, cm\) και \(ΑΔ = 6 \, cm\). Να βρείτε τα μήκη των τμημάτων ΑΓ και ΓΔ.
* Λύση:
* \(ΑΓ = ΑΒ + ΒΓ = 2 + 3 = \mathbf{5 \, cm}\).
* \(ΓΔ = ΑΔ - ΑΓ = 6 - 5 = \mathbf{1 \, cm}\).
Άσκηση 3 (Κλασματικά μέρη): Να βρείτε πόσα εκατοστά είναι τα \(\frac{2}{5}\) του μέτρου.
* Λύση: Το 1 μέτρο έχει 100 εκατοστά. Το \(\frac{1}{5}\) του μέτρου είναι \(100 : 5 = 20 \, cm\). Άρα τα \(\frac{2}{5}\) είναι \(2 \times 20 = \mathbf{40 \, cm}\).
Άσκηση 4 (Σύγκριση): Να συγκρίνετε τις ποσότητες:
α) \(0,2 \, m\) και \(30 \, cm\),
β) \(24 \, cm^2\) και \(30,004 \, mm^3\).
* Λύση:
* α) Μετατρέπουμε τα \(30 \, cm\) σε \(m\): \(30 : 100 = 0,3 \, m\). Επειδή \(0,3 > 0,2\), τότε \(30 \, cm > 0,2 \, m\).
* β) Δεν μπορούν να συγκριθούν, γιατί το \(cm^2\) είναι μονάδα εμβαδού και το \(mm^3\) είναι μονάδα όγκου (ανόμοια μεγέθη).
Άσκηση 5 (Απόσταση και Μέσο): Αν το σημείο Μ είναι το μέσο του τμήματος \(ΑΒ = 10 \, cm\) και το Ν είναι το μέσο του ΑΜ, ποια είναι η απόσταση ΑΝ;.
* Λύση: * Η απόσταση ΑΜ είναι το μισό του ΑΒ: \(10 : 2 = 5 \, cm\).
* Η απόσταση ΑΝ είναι το μισό του ΑΜ: \(5 : 2 = \mathbf{2,5 \, cm}\).
Άσκηση 6: Ένας ιδιοκτήτης θέλει να περιφράξει τον κήπο του σχήματος ορθογωνίου, με πλευρές $12,8 $ και \(17,5\text{ m}\). Διαθέτει συρματόπλεγμα, μήκους 60 m 7 dm 18 cm. Να βρεθεί, αν θα του φτάσει το συρματόπλεγμα αν θα του περισέψει (αν ναι πόσο;) ή αν θα πρέπει να αγοράσει και άλλο (αν ναι πόσο;).
Άσκηση 7: Τα σημεία Α και Β απέχουν 8 cm μεταξύ τους. Τοποθετήστε ένα σημεί Γ έτσι ώστε:
1. Το Γ να είναι μέσο του ΑΒ
2. Το Α να είναι μέσο του ΓΒ
3. Το Β να είναι μέσο του ΑΓ
Άσκηση 8: Ένα σχοινί μήκους \(36\text{ m}\) κόπηκε σε τρία κομμάτια, το πρώτο κομμάτι είναι το μισό του δεύτερου, ενώ το τρίτο είναι κατά \(1\text{ m}\) μεγαλύτερο από το διπλάσιο δεύτερου. Να βρείτε το μήκος του μεγαλύτερου κομματιού.
Υπόδειξη: Αν το μήκος του πρώτου είναι \(x\), τότε του δεύτερου θα είναι \(2\cdot x\) και το τρίτο θα είναι \(2\cdot(2\cdot x)+1\)
ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !